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Summary: Beiträge zur Numerischen Mathematik
5 (1976), 7-18
Konvergenzbeschleunigung des Newton-Verfahrens bei gewissen
Gleichungssystemen
GÖTZ ALEFELD
1. Einleitung
Bekanntlich liefert das Newton-Verfahren
Xk+l = Xk - F'(Xk)-1 Fxk, k = 0, 1,2, ...,
zur Auflösung der Gleichung Fx = 0 mit einer konvexen Abbildung F: JRn + JRn
unter der Voraussetzung, daß F' (X)-l für alle x E JRn existiert und nichtnegativ ist,
für beliebiges XOE JRn eine monotone Folge
Xl > X2 > X3 > .,. > Xk > xk+l > ...,
die gegen x* konvergiert, falls die Gleichung Fx = 0 eine (notwendig eindeutige)
Lösung x* besitzt (vgl. etwa [1], S. 163, oder [2], S. 453).
Obwohl das Newton-Verfahren (unter einigen zusätzlichen Voraussetzungen)
quadratisch konvergiert, kann die Verkleinerung des Fehlers in den Anfangsschritten
nur gering sein. Dieses Verhalten des Fehlers ist auch bei anderen Verfahren höherer
Ordnung bekannt, und es wurden in der Vergangenheit speziell bei der Anwendung
des Newton-Verfahrens zur Auflösung dner Gleichung mit einer Unbekannten Mög-
lichkeiten zur Konvergenzbeschleunigung in den Anfangsschritten angegeben. Wir
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