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1.4. Mesure de Haar Rappel : Sur un espace localement compact X, on a une correspondance bijective
 

Summary: 1.4. Mesure de Haar
Rappel : Sur un espace localement compact X, on a une correspondance bijective
entre mesures de Radon (positives) µ et fonctionnelles de Radon (positives) I. Plus
pr´ecis´ement, on associe I `a µ par la th´eorie de l'int´egration :
I(f) =
X
f(x) dµ(x)
et µ `a I par la th´eorie de la mesure ext´erieure.
Soit G un groupe localement compact.
Th´eor`eme (Weil 1
) ­ D´efinitions :
· Existence : Il existe sur G une mesure de Radon (positive, non nulle) invariante par
translations `a gauche. Une telle mesure est appel´ee mesure de Haar 2
invariante `a gauche
sur G.
· Unicit´e : Toutes les mesures de Haar `a gauche sur G sont proportionnelles.
· Convention : Si G est compact, il y a un choix canonique de mesure de Haar sur G,
`a savoir la mesure de Haar invariante `a gauche qui est une mesure de probabilit´e sur G
(i.e. pour laquelle la mesure de G est ´egale `a 1). En g´en´eral, on choisit une mesure de
Haar invariante `a gauche sur G, qu'on appelle (abusivement) la mesure de Haar de G

  

Source: Anker, Jean-Philippe - Laboratoire de Mathématiques et Applications, Physique Mathématique, Université d'Orléans

 

Collections: Mathematics