| | |
Summary: Mat tanári I/5. 7. feladatsor: megoldások 2000. okt. 24.
1. a) Ha egy n számnak a számjegyei (visszafelé haladva) sorra a 0 ; a 1 ; : : : ; a k , akkor n = a k 10 k + +a 1 10 1 +
a 0 a k ( 1) k
+ + a 1 ( 1) 1
+ a 0 (mod 11), ami pont azt jelenti, hogy n pontosan akkor osztható
11-gyel, ha a számjegyeinek a váltott el®jel¶ összege osztható 11-gyel. (Valójában az is kijött, hogy a
két számnak még az esetleges maradéka is megegyezik.)
b) Egy szám pontosan akkor osztható 13-mal, ha a 12-es számrendszerben fölírt alakjából kapott számje-
gyek váltott el®jel¶ összege osztható 13-mal.
c) A 7-tel való oszthatóság ellen®rzéséhez az egyesek, tízesek stb. helyén álló számjegyeket sorra 3-mal,
2-vel, 1-gyel, 3-mal, 2-vel és 1-gyel (majd ugyanilyen sorrendben folytatva tovább ismét 3-mal,
2-vel stb.) kell szorozni, s a kapott számokat összeadni: az eredeti szám pontosan akor osztható 7-tel,
ha az el®bb kapott súlyozott összeg osztható 7-tel. (Persze, az eljárás ismételhet®, amíg csak elég kis
számot nem kapunk!). A szorzók a megfelel® 10-hatványok maradékaiból adódtak. Hasonló tényez®k
a 13-mal való oszthatóság ellen®rzésére: 3, 4, 1, 3, 4, 1, majd a sorozat ismétl®dik.
2. a) I. Ügyeskedéssel: 7x 3 (mod 17) megoldásához keressük 7 inverzét. De 2 7 3 (mod 17), és
( 3) ( 6) 1 (mod 17). Mivel 2 ( 6) = 12 5 (mod 17), ezért 5 7x x 5 3 = 15 (mod 17).
II. Diofantikus egyenlettel: A 7x 17y = 3 egyenletnek keresük egy x megoldását. A szokásos módon
az jön ki, hogy x = 17t 2, azaz x 2 15 (mod 17).
b) 152x 88 (mod 66) ekvivalens a 20x 22 (mod 66) kongruenciával, ez pedig a 10x 11 (mod 33)
|
