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Westf alische WilhelmsUniversit at M unster WS 2003/04 Institut f ur Numerische Mathematik
 

Summary: Westf˜ alische Wilhelms­Universit˜ at M˜ unster WS 2003/04
Institut f˜ ur Numerische Mathematik
Prof. Dr. A. Arnold / E. Dhamo
7. ˜
Ubungsblatt zur Vorlesung ``Partielle Di#erentialgleichungen''
(Der Laplace--Operator, Maximumprinzip)
1. Aufgabe (5 Punkte)
Sei # > 0. Berechnen Sie die L˜ osungen u # von u ## - # 2 u = # # in R.
Gibt es beschr˜ ankte L˜ osungen? Kann man eine Green'sche Funktion f˜
ur# = R aus den
L˜ osungen gewinnen?
Hinweis: L˜ osen Sie zun˜ achst u ## - # 2 u = # 0 unter der Annahme, dass u von |x| abh˜ angt, d.h.
eine gerade Funktion ist. Bestimmen Sie auftretenden Konstanten mit Hilfe der distributionellen
Formulierung.
2. Aufgabe (6 Punkte)
Zeigen Sie mittels Fouriertransformation, dass f˜ ur die Helmholtz--Gleichung
(-# + k 2 )u = f in R n ,
mit k > 0, und f # L 2 (R) :
a) im Falle n = 1 eine eindeutige L˜ osung u # L 2 (R) existiert.
b) f˜ ur alle n # 4 keine Fundamentall˜ osung u # L 2 (R n ) mit Pol in 0 existiert.

  

Source: Arnold, Anton - Institut für Analysis und Scientific Computing, Technische Universität Wien

 

Collections: Mathematics