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Universit Paris Diderot UFR de mathmatiques
 

Summary: Université Paris Diderot
UFR de mathématiques
Licence de mathématiques
L3 ­ Logique et théorie des ensembles
Interrogation écrite no
1
Correction
Exercice 1.
1. Toute fonction de X dans Y est une partie de X × Y . On considère donc A = P(X × Y ), et les
deux propositions suivantes :
P(f) =« x x X y (x, y) f »
Q(f) =« xyz ((x, y) f (x, z) f) y = z ».
La proposition P(f) exprime que chaque élément de X est en relation par f avec un élément de Y ;
la proposition Q(f) exprime que chaque élément est en relation par f avec au plus un élément.
L'ensemble F des fonctions de X dans Y est donc obtenu en appliquant l'axiome de compréhension
F = {f P(X × Y ) |P(f) Q(f)}.
2. Soit x A. Alors, par définition de A, il existe y A tel que x y et y A. Alors y B
puisque A B, et donc x B.
Exercice 2.
1. Réflexivité : avec k = 1 on voit que a|a. Transitivité : si a|b et b|c alors c = kb et b = k a donc

  

Source: Abbes, Samy - Laboratoire Preuves, Programmes et Systèmes, Université Paris 7 - Denis Diderot

 

Collections: Computer Technologies and Information Sciences