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Instituto Superior Tecnico Departamento de Matematica
 

Summary: Instituto Superior T’ecnico
Departamento de Matem’atica
Sec›c”ao de ’
Algebra e An’alise
GEOMETRIA DIFERENCIAL ­ Ficha 1
LMAC/MMA ­ 1 o Semestre 2001/02
REVIS ”
OES DE AN ’
ALISE EM R n Data de entrega: 4 de Outubro
1. Seja X # R n um subconjunto n”ao­vazio, limitado e fechado, e f : X # X uma
contrac›c”ao (i.e. #f(x) - f(y)# < #x - y# para quaisquer x, y # X com x #= y). Mostre
que f tem um e um s’o ponto fixo, isto ’e, existe um e um s’o x 0 # X tal que f(x 0 ) = x 0 .
Sugest”ao: a fun›c”ao real # : X # R definida por #(x) = #x - f(x)# ’e cont’nua em X
e anula­se num ’
unico ponto x 0 # X.
2. Seja U # R n um aberto contendo a origem e f : U # R n uma fun›c”ao de classe C # em
U , com f(0) = 0 e T # T 0 f : R n
# R n um isomorfismo. Mostre que existe uma bola
centrada na origem onde f ’e um difeomorfismo.
Sugest”ao: escreva f na forma f(x) = T (x) + r(x), onde r(x) ’e o resto de primeira

  

Source: Abreu, Miguel - Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa

 

Collections: Mathematics