Summary: Instituto Superior T�ecnico
Departamento de Matem�atica
Sec�c�ao de �
Algebra e An�alise
GEOMETRIA DIFERENCIAL � Ficha 1
LMAC/MMA � 1 o Semestre 2001/02
REVIS �
OES DE AN �
ALISE EM R n Data de entrega: 4 de Outubro
1. Seja X # R n um subconjunto n�ao�vazio, limitado e fechado, e f : X # X uma
contrac�c�ao (i.e. #f(x) - f(y)# < #x - y# para quaisquer x, y # X com x #= y). Mostre
que f tem um e um s�o ponto fixo, isto �e, existe um e um s�o x 0 # X tal que f(x 0 ) = x 0 .
Sugest�ao: a fun�c�ao real # : X # R definida por #(x) = #x - f(x)# �e cont��nua em X
e anula�se num �
unico ponto x 0 # X.
2. Seja U # R n um aberto contendo a origem e f : U # R n uma fun�c�ao de classe C # em
U , com f(0) = 0 e T # T 0 f : R n
# R n um isomorfismo. Mostre que existe uma bola
centrada na origem onde f �e um difeomorfismo.
Sugest�ao: escreva f na forma f(x) = T (x) + r(x), onde r(x) �e o resto de primeira

Source: Abreu, Miguel - Departamento de Matem�tica, Instituto Superior T�cnico, Universidade T�cnica de Lisboa

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