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CHIFFRES NON NULS DANS LE DVELOPPEMENT EN BASE ENTIRE D'UN NOMBRE ALGBRIQUE IRRATIONNEL
 

Summary: CHIFFRES NON NULS DANS LE DÉVELOPPEMENT EN BASE
ENTIÈRE D'UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL
par
Boris Adamczewski & Colin Faverjon
Résumé. -- Dans ce texte, nous donnons une minoration effective du nombre de chiffres
non nuls parmi les N premiers chiffres du développement dans une base entière d'un nombre
algébrique irrationnel. La démonstration de ce résultat reprend pour l'essentiel les arguments
de [BBCP04], mais a l'avantage d'être rendue à la fois totalement élémentaire et effective.
Elle étend également ces arguments au cas de toute base entière.
1. Introduction
Étant donné un entier b 3, nous ne sommes malheureusement toujours pas capables de
prouver que tous les chiffres 0, 1, . . . , b-1, apparaissent dans le développement en base b de
tout nombre réel, algébrique et irrationnel. Notons qu'une réponse positive à cette question
permettrait de résoudre une conjecture bien connue de Mahler [Ma84] concernant l'absence
de tels nombres dans l'ensemble triadique de Cantor. Plus généralement, on s'attend à ce
que ces nombres, comme d'autres constantes classiques, soient des nombres normaux (voir
par exemple [Ad10, AB07, ABL04] pour une discussion et des résultats complémentaires
sur ce sujet).
Contrairement au cas d'une base b 3, il est évident que les deux chiffres 0 et 1 ap-
paraissent infiniment souvent dans le développement binaire de tout nombre irrationnel.

  

Source: Adamczewski, Boris - Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon-I

 

Collections: Mathematics