Home

About

Advanced Search

Browse by Discipline

Scientific Societies

E-print Alerts

Add E-prints

E-print Network
FAQHELPSITE MAPCONTACT US


  Advanced Search  

 
Mat. BSC: Algebra 1 1. ZH 2007. oktber 16. 1. Hatrozzuk meg s brzoljuk a komplex szmskon azoknak a z komplex szmoknak a halmazt, melyekre
 

Summary: Mat. BSC: Algebra 1 1. ZH 2007. október 16.
1. Határozzuk meg és ábrázoljuk a komplex számsíkon azoknak a z komplex számoknak a halmazát, melyekre
|z - i + 3| > |z + 2 - 2i|.
Megoldás: Az egyenl®tlenség azt mondja ki, hogy a z komplex számnak az (i - 3) számtól a komplex számsíkon
mért távolsága nagyobb, mint a (-2 + 2i) számtól mért távolsága (3 pont). Az ilyen komplex számok tehát a
két pontot összeköt® szakasz felez®mer®legese fölött elhelyezked® félsík pontjai (2 pont) (a határegyenes pontjai
nélkül) (1 pont). (A felez®mer®leges egyenlete: y = -x - 1.)  Második megoldás. Az egyenl®tlenség mindkét
oldalán nemnegatív szám áll, ezért |z - i + 3| > |z + 2 - 2i| pontosan akkor igaz, ha |z - i + 3| 2
> |z + 2 - 2i| 2
(1 pont). Ha z-t a + bi alakban írjuk föl, akkor a következ®ket kapjuk: |a + bi - i + 3| 2 = (a + 3) 2 + (b - 1) 2 >
|a + bi + 2 - 2i| 2 = (a + 2) 2 + (b - 2) 2 (2 pont). Ezt átrendezve azt kapjuk, hogy 2a + 2b + 2 > 0, azaz b > -a- 1
(1 pont). A megoldáshalmaz tehát az y = -x - 1 egyenlet¶ egyenes fölötti nyílt félsík (2 pont).
2. Határozzuk meg a z = (2 # 3 - 2i) 213 + (2 # 3 + 2i) 213 szám képzetes részét.
Megoldás: A két hatványalap egymásnak a konjugáltja (2 pont), így egymásnak konjugáltjai lesznek a kifeje-
zésben szerepl® hatványok is (2 pont). Összegüknek tehát 0 a képzetes része (2 pont).  Második megoldás
(önsanyargatóknak). (2 # 3 + 2i) = 4(cos 30 # + i sin 30 # ), és (2 # 3 - 2i) = 4(cos(-30 # ) + i sin(-30 # )), így
(2 # 3 - 2i) 213 + (2 # 3 + 2i) 213 = 4 213 (cos(213 · 30 # ) + i sin(213 · 30 # ))+
4 213 (cos(213 · (-30 # )) + i sin(213 · (-30 # ))) = (2 pont)
= 4 213 ((cos 270 # + i sin 270 # ) + (cos(-270 # ) + i sin(-270 # ))). (2 pont)
Ebb®l a keresett képzetes rész: 4 213 (sin 270 # + sin(-270 # )) = 0 (2 pont). (Ez a számolás akkor lehetett volna

  

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

 

Collections: Mathematics