| | |
Summary: Mat tanári I/5. 10. feladatsor: megoldások 2000. nov. 14.
1. Oldjuk meg az alábbi szimultán kongruenciarendszert: x 1 (mod 2), x 3 (mod 5), x 4 (mod 7). Az els®
kongruenciának a megoldásai a x = 2k + 1 alakú számok, ahol k tetsz®leges egész szám. Ezt behelyettesítve
a második kongruenciába, a 2k + 1 3 (mod 5) kongruenciát kapjuk, majd ekvivalens átalakítással a
k 1 (mod 5) kongruenciát. Ennek megoldásai a k = 5` + 1 alakú számok, ahol ` tetsz®leges egész szám.
k értékét viszahelyettesítve az x kifejezésébe, azt kapjuk, hogy az els® két kongruencia közös megoldásai
az x = 2k + 1 = 2(5` + 1) + 1 = 10` + 3 alakú számok. Ezt a kifejezést most a harmadik kongruenciába
helyettesíthetjük: 10` + 3 4 (mod 7), s ezt megoldva azt kapjuk, hogy ` 5 (4 3) = 5 (mod 7).
Tehát ` = 7m + 5, és így x = 10` + 3 = 10(7m + 5) + 3 = 70m + 53. Ez azt jelenti, hogy a szimultán
kongruenciarendszernek a megoldása az x 53 (mod 70) maradékosztály, s így a második legkisebb pozitív
szám, ami a feltételt kielégíti, a 123.
2. a) Érdemes észrevennünk az elején, hogy az egyes kongruenciákat még külön-külön meg kell oldanunk, és az
els® kongruencia megoldásánál a modulus is megváltozik, ahogy els® lépésként a 9x 6 (mod 24) kong-
ruenciát a 3x 2 (mod 8) kongurenciává alakítjuk át. Az els® kongruencia megoldása x 6 (mod 8),
melyb®l a másodikba behelyettesítve a 7(8k + 6) = 56k + 42 4 (mod 66) kongruenciát kapjuk. Ezt
megoldva k 17 (mod 33) adódik. Megoldásként az x = 8k + 6 = 8(33` + 17) + 6 = 264` + 142 alakú
számokat, azaz az x 142 (mod 264) maradékosztályt kapjuk. (Vegyük észre, hogy 264 = [24; 66].)
b) Az x 2 3 (mod 23) kongruencia két megoldása az x 7 (mod 23) és x 7 = 16 (mod 23), s
ezeket külön-külön kell párba állítani a második kongruenciával, majd megoldani a két rendszert. Az
els® rendszer megoldása x 30 (mod 253), a másodiké x 85 (mod 253).
|
