Summary: Westf˜ alische Wilhelms­Universit˜ at M˜ unster WS 2004/05
Institut f˜ ur Numerische Mathematik
Prof. Dr. A. Arnold / E. Dhamo
2. ˜
Ubungsblatt zur VL ``Numerik partieller Di#erentialgleichungen''
(Parabolische Gl˜ attung, Di#erenzenapproximation, Konsistenzordnung,)
1. Aufgabe (8 Punkte (3+3+2))
Gegeben sei die W˜ armeleitungsgleichung
u t = u xx , 0 < x < #, t > 0
u(0, t) = u(#, t) = 0
u(x, 0) = u 0 (x), u 0 # L 2 (0, #).
a) L˜ osen Sie die Gleichung durch Separation der Variablen u(x, t) = #(x)#(t).
Hinweis: Entwickleln Sie L = # 2
x mit den Dirichlet­Randbedingungen nach den Ei­
genfunktionen # k (x). Benutzen Sie dann die Darstellung in der Eigenfunktionenbasis
u(x, t) =
# # k=1 # k (t)# k (x), um die # k (t) zu finden.
b) Zeigen Sie:
#u(t)# H k (0,#) # Ct - k
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Source: Arnold, Anton - Institut für Analysis und Scientific Computing, Technische Universität Wien

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