Home

About

Advanced Search

Browse by Discipline

Scientific Societies

E-print Alerts

Add E-prints

E-print Network
FAQHELPSITE MAPCONTACT US


  Advanced Search  

 
Mat. BSC: Algebra 2 12. (heti) feladatsor 2007. december 4. Didercsoportok. Normlosztk, faktorcsoportok
 

Summary: Mat. BSC: Algebra 2 12. (heti) feladatsor 2007. december 4.
Diédercsoportok. Normálosztók, faktorcsoportok
1. Van-e A 4 -ben negyedrend¶ elem? Hát A 5 -ben, illetve A 6 -ban?
2. Csoportosítsuk az alábbi csoportok közül az izomorfakat.
a) Z +
8 ; c) Z × 16 ; e) #(1 2 3 4 5 6 7 8)# # S 8 ; g) D 8 forgatásai;
b) Z × 15 ; d) Z × 24 ; f) #(1 2 3 4), (1 2)(3 4)# # S 4 ; h) {f # Z 2 [x] | gr f # 2} + .
3. (Vizsgaanyag.) Kvaterniócsoportnak nevezzük az alábbi nyolcelem¶ csoportot. Q =
{±1, ±i, ±j, ±k}, és a m¶veletet az alábbi szabályok adják meg: 1 a csoport egységeleme,
-1 · (+a) = -a, -1 · (-a) = +a, (±i) 2 = (±j) 2 = (±k) 2 = -1, ij = k, ji = -k, jk = i,
kj = -i, ki = j, ik = -j. Határozzuk meg Q-ban az elemek rendjét. Izomorf-e Q az el®z®
feladatban szerepl® csoportok valamelyikével?
4. Adjunk meg D 4 -ben egy kételem¶ és egy négyelem¶ normálosztót, és határozzuk meg a
hozzájuk tartozó faktorcsoportokat.
5. Legyen G az invertálható 2 × 2-es valós mátrixok multiplikatív csoportja. Igazoljuk, hogy
G-ben egy N normálosztót alkotnak az 1 deterinánsú mátrixok. Hogyan lehet fölismerni,
hogy két mátrix azonos N szerinti mellékosztályba tartozik? Milyen ismert csoporttal lesz
izomorf a G/N faktorcsoport?
6. Határozzuk meg a kvaterniócsoport összes részcsoportját, és bizonyítsuk be, hogy a kvater-
niócsoportban minden részcsoport normálosztó.

  

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

 

Collections: Mathematics